Опубликовано пт, 08/09/2019 - 21:24 пользователем fizportal.ru Метод экстремума потенциальной энергии Рассмотрены условия равновесия систем, подверженных одновременно нескольким воздействиям. Решаются задачи статики, гидростатики, динамики вращательного движения, молекулярной физики и электростатики. Говоря о вариационных принципах механики, невозможно обойти вниманием «Трактат по динамике» Д'Аламбера (1743 г.). В нем изложены три принципа механики. 1. Принцип силы инерции. Д'Аламбер наряду с Галилеем и Ньютоном признает за телами свойство сохранять то состояние, в котором они находятся. 2. Принцип сложения движений. Это обобщение опытных данных – принцип суперпозиции движений. Из него очевидны, например, параллелограммы скоростей и сил. Первые два принципа подробно рассматриваются в школьном курсе физики, и мы так же будем говорить о них. Подробнее мы остановимся на третьем. 3. Принцип равновесия. Д'Аламбер следует за Мопертюи, который в 1740 г. доказал, что в равновесии системы экстремальна величина «сумма сил покоя». Что же эта за величина? Для равновесия системы необходимо стационарность ее потенциальной энергии. Это означает, что при малых отклонениях системы изменение $U$ незначительно. Ниже будет показано, что условием равновесия является экстремум потенциальной энергии. Если в системе действуют диссипативные силы (силы жидкого трения, например), то и при их наличии условие равновесия – стационарность (экстремум) – выполнимо, так как в положении равновесия ($v = 0$) диссипативные силы равны нулю. Если система ограничена идеальными связями, не производящими работы при любых, как мы уже показали, виртуальных перемещений, то стационарность $U$, $U_{min}$ и $U_{max}$ соответствуют равновесию, устойчивому и неустойчивому. Пусть тело находится в поле консервативных сил. Каждой точке такого поля ставится в соответствие сила. Такие поля называются потенциальными. Работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю, не зависит от формы пути и равна убыли потенциальной энергии. При перемещении тела на малое расстояние $dx$ сила $F_x$ совершает работу $F_xdx$. Ясно, что $F_x = \frac{dU}{dx}$. Поскольку в положении равновесия $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \vec{F_i} = 0$, то $\frac{dU}{dx} = 0$, то есть потенциальная энергия экстремальная. Для решения задач на нахождения условия равновесия системы необходимо найти выражение для потенциальной энергии, продифференцировать его и, приравняв к нулю, решить относительно неизвестного. Задача 1. Гладкий однородный стержень длиной $2L$ опирается на край гладкой, неподвижной полусферической чашки радиуса $R$ (рис.). Какой угол $\alpha$ образует стержень с горизонтом в положении равновесия? Трением пренебречь. Решение Выберем за нулевой уровень $U$ горизонталь, проходящую через $K$. Расстояние от центра тяжести до этой прямой $h = R(1 – sin2\alpha) + Lsin\alpha$. В положении равновесия $\frac{dU}{d\alpha} = 0$. $4Rcos^2\alpha – Lcos\alpha – 2R = 0$, откуда $\alpha = arccos[\frac{1}{8}(L + \sqrt{L^2 + 32R^2})]$. Корень один, так как $\alpha$ – угол острый. Покажем также традиционное решение задачи. На стержень действуют три силы: сила тяжести $mg$, приложенная в середине стержня, и сила реакции чашки $Q_1$ и $Q_2$ (рис.). Так как трение отсутствует, сила $Q_1$, действующая на конец стержня, упирающегося в чашку, направлена перпендикулярно поверхности чашки, то есть по радиусу; сила $Q_2$ приложена к стержню со стороны края чашки и направлена перпендикулярно стержню (?). Если стержень находится в положении равновесия, то линии, по которым действуют эти силы, пересекаются в одной точке $A$. Действительно, рассмотрим точку пересечения линий действия каких-либо двух сил, например, $Q_1$ и $Q_2$ и составим условие равенства нулю суммы моментов всех сил относительно этой точки. Моменты сил $Q_1$ и $Q_2$ относительно точки пересечения их направлений равны нулю, следовательно, момент силы $P$ также должен быть равен нулю, то есть линия действия силы $P$ проходит через эту же точку. Этого факта достаточно для нахождения положения равновесия стержня. Из элементарных геометрических соображений легко найти все углы, указанные на рисунке. Теперь можно составить уравнение для какой-нибудь тригонометрической функции искомого угла $\alpha$. Находя из прямоугольного треугольника $ABC$ хорду $BC = 2Rcos\alpha$ и учитывая, что точка приложения силы тяжести лежит посредине стержня, получим $x = 2Rcos\alpha - L$. (1) Далее рассматривая радиус $OC$ как сумму двух отрезков, на которое его делит линия силы тяжести $P$, находим $R = Rsin(\frac{\pi}{2} – 2\alpha) + xcos\alpha$. (2) Подставляя (1) в (2), получаем после простых преобразований квадратное уравнение для $cos\alpha$: $4Rcos^2\alpha – Lcos\alpha – 2R = 0$. Равновесие систем, в которых работа связи определяется изменением потенциальной энергии, также описывается условием экстремума. Пример тому – равновесие тела в жидкости. Найдем потенциальную энергию тела, погруженного в жидкость. Пусть тело массы $m$ и объема $V$ перемещается внутри жидкости плотности $\rho$ на $\Delta h = h_1 – h_2$. Работа силы тяжести $A_1 = mg\Delta h$, архимедовой силы $A_2 = -\rho gV\Delta h$. Суммарная работа $A = A_1 + A_2 = (m - \rho V)gh_1 – (m - \rho V)gh_2$. равна убыли потенциальной энергии $A = U_1 – U_2$. Значит, $U = (m - \rho V)gh$. Задача 2. Однородная тонкая палочка шарнирно укреплена за верхний конец. Нижняя ее часть погружена в воду ($\rho_0$), причем равновесие достигается тогда, когда она расположена наклонно к поверхности воды и в воде находится ее половина. Какова плотность материала палочки ($\rho$)? Решение За нулевой уровень $U$ выберем горизонталь через $O$ (рис.). Потенциальная энергии надводной части палочки $U_1 = -\frac{\rho V}{2}g\frac{h}{2}$, а подводной части $U_2 = (\frac{\rho gV}{2} - \frac{\rho_0 gV}{2})\frac{3h}{2}$. Условие равновесия палочки $\frac{d(U_1 + U_2)}{dh} = 0$, откуда $\rho = \frac{3}{4}\rho_0$. Консервативными могут быть не только природные силы, но и фиктивные. Это означает, что о поле центробежных сил инерции можно говорить, как о потенциальном. Пусть тело массы $m$ вращается вокруг точки $O$ с постоянной угловой скоростью $\omega$ на расстоянии $r$ от центра вращения. В неинерциальной системе отсчета на него действует центробежная сила инерции, направленная вдоль радиуса от центра вращения и равная $F_{цб} = m\omega^2 r$. Пусть тело переместилось на малое расстояние $dl$, в пределах которого $F_{цб}$ стационарна. Работа этой силы $dA = m\omega^2 rdlcos\alpha$. Но $dlcos\alpha = dr$ (рис.). Поэтому $A = \int\limits_{R_1}^{R_2}m\omega^2 rdr = \frac{1}{2}m\omega^2 r_2^2 - \frac{1}{2}m\omega^2 r_1^2$, откуда $U = \frac{1}{2}m\omega^2 r^2$. Задача 3. На гладкое проволочное кольцо радиуса $R$ надет маленький шарик массой $m$ (рис.). Кольцо вместе с шариком вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через диаметр кольца с угловой скоростью $\omega$. Где находится шарик? Решение За нулевой уровень $U$ примем нижнюю точку кольца. Тогда потенциальная энергия шарика в поле силы тяжести $U_1 = mgR(1 – cos\alpha)$, а потенциальная энергия в поле центробежных сил инерции $U_2 = -\frac{1}{2}m\omega^2 R^2sin^2\alpha$. Но в положении равновесия шарика $\frac{d(U_1 + U_2)}{d\alpha} = 0$. Поэтому при $\omega > \sqrt{\frac{g}{R}}, cos\alpha = \frac{g}{\omega^2R}$, при $\omega \leq \sqrt{\frac{g}{R}}, \alpha = 0$. Подумайте, почему получилось два ответа. Экстремум энергии обуславливает равновесие систем, подверженных одновременно нескольким взаимодействиям. Напомним, что потенциальная энергия упругой деформации $U = \frac{kx^2}{2}$, потенциальная энергия заряда $q$ в поле заряда $Q$: $U = \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0\varepsilon r}$, энергия свободной поверхности жидкости $U = \sigma S$. Задача 4. Тонкое резиновое кольцо массой $m$ и радиуса $R_0$ раскрутили вокруг его оси до угловой скорости $\omega$. Найти новый радиус кольца, если жесткость резины $k$. Решение Пусть $R$ – новый радиус кольца. Тогда $x = 2\pi (R – R_0)$ и $U_1 = \frac{4\pi^2 k(R – R_0)}{2}$. Потенциальная энергия кольца в поле центробежных сил инерции $U_2 = -\frac{1}{2}m\omega^2 R^2$. Поэтому из $\frac{d(U_1 + U_2)}{dR} = 0$, получаем $R = \frac{4\pi^2 k}{4\pi^2 k – m\omega^2}R_0$. Задача 5. Какой радиус будет иметь капля, которой сообщили заряд $Q$, если коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$? Решение Пусть $R$ – радиус капли. Поверхностная энергия $U_1 = \sigma 4\pi R^2$, электростатическая энергия $U_2 = \frac{Q^2}{8\pi \varepsilon_0 R}$. В положении равновесия $\frac{d(U_1 + U_2)}{dR} = 0$ или $R = \sqrt{\frac{Q^2}{64\pi \varepsilon_0 \sigma}}$. В заключении покажем, что экстремум потенциальной энергии может быть, например, применен для нахождения натяжения нити, пребывающей в равновесии. Задача 6. Металлическая цепочка длиной $l$ и массой $m$, концы которой соединены, насажена на деревянный диск, вращающийся с частотой $\nu$. Определите силу натяжения цепочки. Решение Пусть $R$ – новый радиус цепочки. Тогда ее удлинение равно $x = 2\pi (R – R_0)$ и, энергия $U_1 = \frac{4\pi^2 k (R – R_0)}{2}$. Потенциальная энергия цепочки в поле центробежных сил инерции $U_2 = \frac{1}{2}m\omega^2 R^2$. Из $\frac{d(U_1 + U_2)}{dR} = 0$ получаем $4\pi^2 k(R – R_0) = m\omega^2 R$. Учитывая, что $T = kx = k \cdot 2\pi (R – R_0), l = 2\pi R_0, \omega = 2\pi \nu$, имеем $T = ml\nu^2$. Задачи для самостоятельного решения. Задача 7. Тяжелый стержень согнули в середине под углом $90^0$ и подвесили свободно за один из концов. Какой угол образует прикрепленная сторона с вертикалью? Ответ $\alpha = arctg\frac{1}{3}$ Задача 8. Стержень $OA$ вращается около вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$. Угол между осью и стержнем равен $\alpha$ (рис.). По стержню без трения скользит муфта массой $m$, связанная с точкой $O$ пружинкой с начальной длиной $l$ и жесткостью $k$. Определить положение муфты при вращении. Ответ $l = \frac{kl_0 – mgcos\alpha}{k – m\omega^2 sin^2\alpha}$ Задача 9. В горизонтальную трубу длиной $L$ помещен положительно заряженный шарик. Вблизи концов трубы находятся с одной стороны закрепленный заряд $+q_1$, с другой – закрепленный заряд $+q_2$. Найти положение равновесия шарика. Ответ $x = \frac{q_1 - \sqrt{q_1q_2}}{q_1 – q_2}\cdot L$ Задача 10. Одна пластина плоского конденсатора закреплена неподвижно, другая подвешена на пружине жесткостью $k$. Площадь каждой пластины $S$. Как изменится длина пружины, если пластинам сообщить равные и противоположные по знаку заряды $Q$? Поле между пластинами считать однородным. Ответ $\Delta x = \frac{Q^2}{2\varepsilon \varepsilon_0 Sk}$ Tags: методикаподготовка к олимпиадеэкстремум
